包络线问题

单位长度的木棍靠在直角墙角下滑，求木棍轨迹包络线。

建系，设木棍与水平地面夹角为 $\theta$。

首先可以写出 $\theta$ 固定时的直线方程

$$\frac x{\cos\theta}+\frac y{\sin\theta}=1$$

后面的操作基本上全是对这个方程做的。对等式全微分，

$$\frac{\mathrm dx}{\cos\theta}+x\mathrm d\left(\frac1{\cos\theta}\right)+\frac{\mathrm dy}{\sin\theta}+y\mathrm d\left(\frac1{\sin\theta}\right)=0$$

包络线上任意一点 $(x,y)$ 和该点（的切线木棍）对应的 $\theta$ 都满足上式。

注意到令 $\mathrm d\theta=0$（上式中的两项也随之变成 $0$）后，该方程就变成了“$\theta$ 固定时的直线方程”的微分，描述该直线的斜率。而该直线又是切线，所以包络线也服从这个方程。

而原方程 $\mathrm d\theta$ 处处不为 $0$，将 $\mathrm d\theta$ 置 $0$ 后仍然处处成立，说明只取等式中 $\mathrm d\theta$ 的系数得到的等式也处处成立：

$$\frac{x\sin\theta}{\cos^2\theta}-\frac{y\cos\theta}{\sin^2\theta}=0$$

联立原式可解得 $x=\cos^3\theta,y=\sin^3\theta$。

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提取 $\mathrm d\theta$ 项系数意义何在？

$\mathrm d\theta\to0$ 时，曲线上 $(x+\mathrm dx,y+\mathrm d y)$ 无限接近 $(x,y)$，而两点又分居两条切线上。注意到两条切线的交点总处在两点之间（以两点分别为左上角和右下角的矩形内），因此两切线交点也收敛到 $(x,y)$。

交点满足什么性质？随着 $\theta$ 微小变化，$x,y$ 不变。因此该点满足原方程令 $\mathrm dx=\mathrm dy=0$ 的方程，也即原方程 $\mathrm d\theta$ 的系数。

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该做法的行为本质即直接对 $\theta$ 求偏导。

所以我们不妨一开始就把直线方程变形成

$$x\tan\theta+y=\sin\theta$$

求导得

$$\frac{x}{\cos^2\theta}=\cos\theta$$

解得 $x=\cos^3\theta$。

写完之后问了下 Deepseek 发现是包络线理论经典结论……